幻方及其幻图

几乎没有人不知道我国是幻方的发源地的,下面的九宫图更是家喻户晓:

4

9

2

3

5

7

8

1

6

    当然奇数阶幻方的排列法最简单,有斜排法和马步法等等.

4

9

2

 

3

5

7

3

8

1

6

8

 

9

2

 

斜排法

10

18

1

14

22

4

12

25

8

16

23

6

19

2

15

17

5

13

21

9

11

24

7

20

3

马步法

    用马步法做出的奇数阶幻方还具有超幻方性,即除了横行,竖列和主对角线上各数之和都是65之外,任意一条辅对角线上各数之和也等于65.

偶数阶幻方可分成两种,1.N=4m (m>=1).  2.N=2(2m+1)  (m>=1)

    对于N=4m 一般都用对调法,制作起来很容易.4阶幻方的排列法:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

先将1-16按如上图排列好,再将非主对角线上的各个数关于中心对调,既成下图:

1

15

14

4

12

6

7

9

8

10

11

5

13

3

2

16

    对于N=2(2m+1) 一般常用加边法,6阶为例子,先排出4m=4阶的幻方,如上图,再将图中每一个数都加上[(2(2m+1))2-(4m)2]/2=8m+2=10,有下图:

11

25

24

14

22

16

17

19

18

20

21

15

23

13

12

26

在加上一圈格子,1,2,3,...8m+2 (2(2m+1))2,(2(2m+1))2-1,(2(2m+1))2-2,...(4m)2+1+8m+2 这些数安排在外圈格子内,但要使相对两数之和等于16m(m+1)+5.对于 m=1 这些数是:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10; 36,35,34,33,32,31,30,29,28,27

 

 

 

 

 

 

 

11

25

24

14

 

 

22

16

17

19

 

 

18

20

21

15

 

 

23

13

12

26

 

 

 

 

 

 

 

结果如下:

1

9

34

33

32

2

6

11

25

24

14

31

10

22

16

17

19

27

30

18

20

21

15

7

29

23

13

12

26

8

35

28

3

4

5

36

对于 N=2(2m+1) 也可以用对调法,将下图中的红色数字关于中心点对调

1

7

13

19

25

31

2

8

14

20

26

32

3

9

15

21

27

33

4

10

16

22

28

34

5

11

17

23

29

35

6

12

18

24

30

36

成为下图,但除了两条主对角线上各个数之和等于111,其他均不相等,如下图:

36

7

24

18

25

6

行和116

2

29

14

20

11

32

行和108

34

9

22

16

27

4

行和112

33

10

21

15

28

3

行和110

5

26

17

23

8

35

行和114

31

12

19

13

30

1

行和106

列和141

列和93

列和117

列和105

列和129

列和81

111

但是上图也很有规律,如第一行多5,第六行少5,第二行少3,第五行多3,第三行多1,第四行少1.第一列多30,第六列少30,第二列少18,第五列多18,第三列多6,第四列少6.只要做如下对调即可: 24<->19 18<->13;2<->5 32<->35;9<->10 27<->28;34<->4 33<->3;7<->25 12<->30;14<->20 17<->23;22<->16;21<->15;如下图是完成之后的六阶幻方:

36

7

24

13

25

6

2

29

20

14

11

35

34

9

16

22

28

4

3

10

15

21

27

33

5

26

17

23

8

32

31

30

19

18

12

1

幻方不仅仅可以用1-n2这些数填充,只要是等差数列,同样可以摆出幻方来.甚至还可以用一些有纪念意义的数字填充,比如法国画家丢勒(1471-1528)在他的一副画忧郁(Melancholia)中画了一个四阶幻方,就是我们上面做的那个,其中还暗藏着这副画的作画时间:1514