六边形幻图
    m个数排成正六边形,使这个正六边形的所有直线上数字之和都相等(都是幻和)。这个图就是六边形幻图。能不能编?怎样编?进行探讨。
关键词  六边形幻图  左斜  右斜  阶次  阶和

                                                               1  2   3   4   5

                                                             6   7   8   9   10  11

                                    1  2  3  4            12  13  14  15  16  17  18

                                  5  6  7  8  9         19 20  21  22  23  24  25  26

1   2  3         10  11 12 13 14  15    27  28 29  30  31  32  33  34  35

           4    5   6   7    16 17  18  19  20  21 22    36 37 38  39  40  41  42  43

1  2    8   9   10  11 12    23  24  25  26 27 28        44 45  46  47  48  49 50

3  4  5    13  14  15  16       29  30  31 32  33            51  52  53  54  55 56

5  7       17  18  19           34  35  36 37                57  58  59  60 61

1         2                3                      4

     六边形幻图,也称魔蜂窝。是 n块写上数字的小六边形拼合而成的大六边形。“园园之数六里一”,这是古老的定理。用若干枚同样大小的硬币,紧紧地围成一团,它所需要的硬币个数,必定是以上4个图相同,共需7193761、…等。它的规律如下:
定义一    六边形幻图最小每边是2个数,以次是345、…、n。它和幻方相同,我们就以每边个数称它为2345、…、n阶六边形幻图。
定义二    六边形幻图的中心都是1个数,围绕着它而形成幻图,阶次减1就是这个六边形的层次。即2阶有1层、3阶有2层、4阶有3层、5阶有4层、…、n阶有n-1层。
定义三    n阶六边形幻图共计数字的统计是(n-1+n-2+n-3++1。之和乘以6+1。例如6阶六边形幻图数字的个数是:(5+4+3+2+16+1=91个。这括号内的计算,我们称它为“阶和”。若阶和用⊙代之,则6+1(读作6个阶和加1)是这个六边形幻图中数字的总数。
定义四    按自1开始到连续m个数的六边幻图2阶不存在。而只有3阶一个。(证明见第10页)不是从1开始的连续m个数的幻六边形幻图,福建苏茂铤发现3个。见《延安教育学院学报》1997增刊(幻方专辑)。今摘录如下:
        33 23 37 18                   27 37 26 21                   29  34 30 18
     22 36 17  9   27             29  15  14 30  23             22   4   14 35  36
    26  16 6  15  13  35        22  19  12  6  13   39         28  16   6   8  20  33
30  7   8  11   4  20  31    33   4   8  11  10  17  28     32  19  17   9   7   3  24
   29  19  5  12  14  32        36  16   5   9  20  25         38  13   5   11  21  23
     24  25  21  3  38            35  31  18   3  24             31  26  12  15  27
       28  34  39  10               7   38  32  34                 10  25  39  37
5                           6                           7
作者发现,这三个幻图都有一个共同的特征,中心都有一个幻和是50的六角幻星。六角幻星的顶角都是互补和为61的二数。如图5
17+6+8+19=19+5+12+14=14+4+15+17    16+6+15+13=13+4+12+21=21+5+8+16
 
      105  24   58    81  22
    73   75   47   55   2   30
51  61   35   28   15   43   49
                     37  40   29   13   9    27   60   67
                   16   3   14   11  10   7    36   71  114
                     79   59   26   6   12   34  41   25
 18   45   38   32   8   53   58
    25   64   57   39  19   80
     116   74   56   31   5
 
8
 
8《六边幻形的新成果》作者高诒源讲:“这个5阶六边形幻图,中心是10,幻和为282。奇妙的是它还包含一个3阶六边形,幻和为78。美中不足的是,所用数字不是连续的自然数,因而我们仍然期待着能用66661个连续自然数构成的5阶六边形幻图。”
定义五    m个连续数之和能被(2n-1)整除,这是编幻图的先决条件。
 
35阶六边形能整除举例如下: 
 
从以上小小统计表,可以发现有整除的连续数都有一定的规律增长,请读者领悟、推敲。
定义六    5阶六边形分割成三部份填数:一、中心3阶六边形。
可以从编六角幻星推演获得。(上节有论述)。而在先生的4个幻图中都与六角幻星有关,其中5阶幻图中还包含一个3阶幻图。因此编3阶六边形幻图就从六角幻星开始。通过实践,发现两个倒扣的大三角形3数之和、中心数、小三角形5数之和,三者之间有一定的关系如下:
      
a         在左图9中 两个倒扣大三角3数和a+g+j=b+e+k
    b  c  d   e               中心数=o
     f  o   g                 小三角5数和a+c+d+f+g=b+c+d+f+h
   g   h  i   j    e+d+c+g+i=j+g+d+i+h=k+i+g+h+f=g+f+c+h+i
         k    9
大三角3数和  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63 64
小三角5数和  63  62  61  60  59  58  57  56  55  54  53  52  51 50  
中心数                         0   1   2   3   4   5   6  7
62419个连续数试编举例如下:
  16                14                 16               18 
17   8  14  18        19  8  12  18          23  13  3   18       24  11  2  20
  11  1   7         13  3   7          6   5   14       5  6  15  
      22   6   9   20       22  2   9  24          22   7  4   24       23   9  3  22
          23                23                 21               19  
10               11               12               13     
6避免重复数,编成3阶六边形幻图如下
15  16  26             32 14  11             33 16  8             29  18 10
17   8  14  18         19  8  12  18        23  13  3   18        24  11  2  20
25  11  1   7  13       6  13  3   7  28     1   6   5   14  31    4   5  6  15  27
      22   6   9   20        22  2   9  24         22   7  4   24        23   9  3  22
        10  23  24             29 23  5              34  21  2            30  19  8
14               15               16               17     
从以上事例,都不是19个连续数编成。
1、中心数是连续数以外之数。
2、若在连续中如图132419间,2322间,只能填59353不在连续数间。图1729427,都不在连续数间。
3、图10这个六角幻星都在连续间,但中心数不是。
同时构成大三角3数之和最多是64,也就是中心数最大是7,所以62419个连续数的3阶六边形幻图不存在。
                        
1   2   3   4   5
                     6   7   8   9   10  11
                   12 13   14  15  16  17 18
                 19  20  21  22  23  24  25  26                                         
               27  28  29  30  31  32  33  34  35
                 36  37  38  39  40  41  42  43
                   44  45  46  47  48  49  50
                     51  52  53  54  55  56 
 57  58  59  60  61     18
    66661个连续数组成的5阶六边形幻图是否存在?(将图1861个数点,用666的数排成任意直线上m个数之和都是244。)
根据以上一些规律作如下探讨:
一、把5阶六边形分成三块填数:
1、中心3阶六边形(红色粗线框内1415162122232429303132333839404146474819数点)(简称3阶)
26只细红线三角形内3数(389121320171825374445424950535459。)(简称三数)。
36只菱形内4数,(126745101119272836263435435152575855566061。)(简称4数)
二、中心3阶六边形的幻和定多少?三数和都相同,怎样定?4数有什么规律?这三块数都有互相关联。必须符合以下规律。161个连续数总和为2196,平均幻和为2442、若3阶幻和为78,则19个数总和为3903、小三角形内3数之和是62104的互补对。(78+62+104=244)例如在图20中,3942504个数点内,4数之和必须是62+104,而849的二个数之和是62。即(262+104/2=114。→处二数是62的互补对。而4数之和都是166。如54+17+37+58……。在这个幻图中,已完成了幻和是244的直线,已有6条。每个三角形内3数之和为11463数之和是684
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
       1   2  3   4   5                              54                                                                                                                           
         6   7   8   9   10  11                         13  17
       12  13  15  25  42  17 18               42  39             22 63
     19  20  33  12   8  29  25  26              33                 39                                      
   27  28  34  13  10  14 11   34  35
     36  37  32   6  9  35  42  43               25                 37
       44  45  16  30  36  49 50               46  45            19  58
         51  52  53  54  55  56                         40  23                                      57  58   59  60  61                             57
                            19                              20
   4、菱形内有→处是104的互补对。例如图19451115825666019263643的数点处。计6对,共104×6=624。而175561 5105257 27283435,三组之和应该是计(62+104)×3=498
这样分配390+684+624+498=2196与总和2196相等。。
今将已编好的中心3阶六边形幻图,幻和是7812个如下:
35   24  19             38  25  15            36  25  17            17  26  35
26  14  13  25        32  10  9  27        27  11   9   31       32  8   10  28
17   9   6  12  34    8   14   7  13  36   15  13   8   12  30   29  13   9  12  15
      31  10   8  29        29   6   12  31       29  10   7   32       31   6  11  30
        30  33  15          41  26  11             34  28  16           18  27  33
21               22               23               24     
35  28  15             17  29  32            13  29  36            39  25  14
    29  13   9  27        30  13   8   27        31  14   6  27        36   8  17  27
   14  11  10   7  36    31  10  11   7  19    34  7   12  10  15    13  11  10   7  37
     26   6  12  34        26   6  12  34        28   8   9  33        34   6   9  29
38  32  8            21  32  25            16  32  30            31  35  12
25               26                27               28
从以上8例,可以发现大三角3数和如图21中红色数24+31+29=84与中心数24+14+13+9+12=72的关系如下:
大三角3数和  84  85  86  87  88  89  90  
中三角5数和  72  71  70  69  68  67  66  
         6   7   8   9  10  11  12  
每个图的19个数各不相同,为了便于以后填数,今将各图所占数统计如下:
216 8 9 10 12 13 14 15 17 19 24 25 26 19 30 31 33 34 35),
226 7 8 9 10 11 12 13 14 15 25 26 27 29 31 32 36 38 41),
237 8 9 10 11 12 13 15 16 17 25 27 28 29 30 31 32 34 36),
246 8 9 10 11 12 13 15 17 18 26 27 28 29 30 31 32 33 35),
256 7 8 9 10 11 12 13 14 15 26 27 28 29 32 34 35 36 38),
266 7 8 10 11 12 13 17 19 21 22 25 26 27 29 30 31 32 34),
276 7 8 9 10 12 13 14 15 16 27 28 29 30 31 32 33 34 36),
286 7 8 9 10 11 12 13 14 17 25 16 27 29 31 34 35 37 39),
    5阶六边形分割成三部份填数规律。6个三数与3阶六边形,组成一个实心六角星如图29
3数之和都是一个定数。这个定数,是根据幻和的大小分为二种互补对而定。如图29我们是按幻和是244,除去中心幻图的幻和78,余下166,分为62104二个互补对而定的,内层为62,如图20有→处。则3数和(62×2+104/2=114。如389三点内3数之和为114,则171825三点内3数之和也是1146只小三角形内3数之和都是114。如图29。与3阶六边形连接,5数和都是244。(图30有→处二数互补和是1046对互补对)             
                                                               55                                                                                                                           
                 42  17
        49  41 13  29  36  22 54
         24  31  14  6   27 38                                      
           34  7  12  10  15
         25  28  8  9   33  37
        44  45 16  32  30 20  57
                 40  21                                                                   53           29                            30
                          
为了便于统计18个数是: 17 20 21 22 24 25 37 38 40 41 42 45 46 49 53 54 55 57。与图27无重复数,则将它填入图29
    5阶六边形分割成三部份填数三。6个菱形,4数之和有一定的互补关系。如1267555660614个点内4数之和互补。也就是660256451115819263643、这6对数之和都是104。图30有→处二数互补和是1046对互补对。
276 7 8 9 10 12 13 14 15 16 27 28 29 30 31 32 33 34 36
18个数是: 17 20 21 22 24 25 37 38 40 41 42 45 46 49 53 54 55 57
剩余的24数是:11 18 19 23 26 35 39 43 44 47 48 50 51 52 56 58 59 60 61 62 63 64 65 66。而其中只有3965436144304856。四对,因此6个小三角3数必须调换。
幻和是2445阶六边形分割成三部份填数四。能整正数分配统计:
三阶                三数和             菱形内4           总和
幻和90     互补对    2×34+120/2=94 1206+1543
19数和450 34 120    6×94=564         120×6+154×3=1182   2196
    84     48 112  2×48+112/2=104
   420                 6×104=624        112×6+160×3=1152   2196
    78     62104   2×62+104/2=114
   390                 6×114=684        104×6+166×3=1122   2196
    72     7696    2×76+96/2=124
   360                 6×124=744        96×6+172×3=1092    2196
    66     9088    2×90+88/2=134
   330                 6×134=804        88×6+178×3=1062    2196
3阶幻和是72填数如下:
       1、菱形内24数是:14 16 19 20 22 26 36 40 42 50 51 52 53 54 56 57 60 62 62 65  2、有96的互补对6对:49 4751 4558 3849 3761 35 63 33
34数之和是172315 43 48 6621 41 46 6434 39 44 55


                   65                                       61  65  38
                 40 19                               49       40 19        59
      52  16   13  23  31  54  50                  52   16               54  50
        56   25  12  11  24  20                  63   56                   20  33
           29  7   9  10  17                                                                               14   30  8  6   28   62                  45   14                   62  51
      53  57   13  32  27  36  26                   53  57               36  26
                 22  60                              58       22  60       35
                   42             31                    37  42   47        32
4、我把6对互补对按排如图32,最后能不能把4数之和是1723组填入空格,才能完成。但是通过多次试填都不能完成。今选二图如下:


         46    61  65  38  34                         64   63   65  37   15
       49   34  40   19  43   59                    38   55   40  19  43   49      
     52   16               54   50                52   16               54   50                 
   63   56                   20   33            51   56                   20   45
 34   32                       38   70        39   19                       19   85
   45    14                  62   51            35    14                  62  61
      53   57              36  26                  53   57              36  26
        58  41   22  60  28   35                     59   56  22   60 14   33
          54   37  42  47   64                         58   47  42  58   39
33                                       34
5、这些试验图,为了满足幻和是244,都发生6个以上的重复数,或大于66之数,如图中红色数字。但是可以发现一个规律:6个菱形内4数之和分为3组互补组。图33中是190174,图34中是2201442个菱形内8数之和是364。这些规律,也许对完成编成61个连续数的六边形幻图有帮助。
61个无重复的数,能不能编成5阶六边形幻图?根据以上规律,首先定下“三分配方案”,即“定幻和”。因为61个连续数幻和是244的回旋余地小,今改为幻和是300,举例如下:
13阶幻和为78,则19个数的和为78×5=390
2、其地二对互补对为:300-78=118+104
36个小三角形内3数是(2×118+104)÷2=170 170×6=1020
46个菱形内4数,分成104的互补对和4数和是(300-78=222)二部份。104互补对有6对计104×6=6244数和是300-78=2223组计222×3=666
5390+1020+624+666=2700则与300×9=2700相符。
今将编制过程如下:


                                                                                             24  50
               35  28  15                               71              44  
             29  13   9  27                           48   6 7 8 9 10 11  70
           14  11  10  7  36                           12 13 14 15 26 27 
             26   6  12  34                           85  28 29 32 34 35  33
               38  32  8                               68     36  38    94
                                                              74  47
                          
                        35                              36
 


               39  96   58                             82   39  96   58  25
      64         24  50        45                    64   31  24  50   86  45
      51   71               44  56                 51  71   36  28  15  44   56
   42    48  6 7 8 9 10 11   70   62             42  48   29  13   9  27  70   62
            12 13 14 15 26 27                  61  30   14  11  10  7  36   19  112      
   81    85  28 29 32 34 35  33   23              81  85  26   6  12  34  33    23
       17  68     36 38    94  43                   17  68   38  32  8  94  43
        46       74  47       65                      46  16  74  47  52  65
               59  49 40                                95  59  49  40  57
                        37                              38
1、把幻和是78中的图25填进图352、为了便于认辨将19个数按大小次序写在图39的中心。36个小三角形内先填入互补和是1186对于图3646只小三角内补足3数之和为170,用红色数表示如图3796+17+43=51+56+49)。在菱形内填上互补对是1046对,见图37。最后填上4数之和是2223组,如图38中红色数字,这样这个5阶六边形幻图就完成。
由于幻和的不同,“三分配方案”有一定规律如下:
三阶幻和是785阶六边形分割成三部份填数,能整正数分配统计:
五阶幻和              三数和             菱形内4           总和
300        互补对  2×118+104/2=170  1046+2223
19数和390 118 104    6×170=1020      104×6+222×3=1290   2700
282        100 1042×100+104/2=152
   390                 6×152=912        104×6+204×3=1236   2538
244        62104  2×62+104/2=114
   390                 6×114=684        104×6+166×3=1122   2196
可以发现五价幻和减18,则互补对中有红色的也减少18。幻和减56,则互补对中有红色的数也减少56
三阶幻和是725阶六边形分割成三部份填数,能整正数分配统计:
五阶幻和              三数和             菱形内4           总和
300        互补对  2×132+96/2=180   966+2283
19数和360 132 96    6×180=1080       96×6+228×3=1260    2700
282        114962×114+96/2=162
   360                 6×162=972        96×6+210×3=1206    2538
244        7696  2×76+96/2=124
   360                 6×124=744        96×6+172×3=1092    2196
 

许仲义200688