四阶幻方通式的构造

 

四川省成都市锦江区锦华路三段379号成都生物制品研究所病毒性疫苗二室

哈秀杰

 

 

 

一.我们先设定一个四阶幻方的模式(见图一)。

 图一

在图一的幻方模式中,要满足幻方的性质,需要的条件是

A1+A2=B1+B2……(1)          A1+E1=C1+G1……(5)          A1+H2=C2+F1……(9)

C1+C2=D1+D2……(2)          A2+E2=C2+G2……(6)          B2+G1=D1+E2……(10)

E1+E2=F1+F2……(3)          B1+F1=D1+H1……(7)

G1+G2=H1+H2……(4)          B2+F2=D2+H2……(8)

(1)可得   A1=S1-t1   B1=S1-u1              (2)可得   C1=S2-t2   D1=S2-u2

            A2=S1+t1   B2=S1+u1                          C2=S2+t2   D2=S2+u2

(3)可得   E1=S3-t3   F1=S3-u3              (4)可得   G1=S4-t4   H1=S4-u4

            E2=S3+t3   F2=S3+u3                          G2=S4+t4   H2=S4+u4

将上面所求的结果分别代入(5)(6)(7)(8)

(5)可得   S1+S3-S2+S4= t1+t3-t2+t4……(11)

(6)可得   S1+S3-S2+S4=-t1+t3+t2+t4……(12)

(7)可得   S1+S3-S2+S4= u1+u3-u2+u4……(13)

(8)可得   S1+S3-S2+S4=-u1+u3+u2+u4……(14)

(11)(12)(13)(14)可得:

S1+S3=S2+S4……(15)           (15)可得       S1=S5-t5        S2=S5-u5

                                             S3=S5+t5        S4=S5+u5

t1+t3=t2+t4……(16)           (16)可得       t1=S6-t6        t2=S6-u6

                                             t3=S6+t       t4=S6+u6

u1+u3=u2+u4……(17)           (17)可得       u1=S7-t       u2=S7-u7

                                             u3=S7+t       u4=S7+u7

所以可以得到:A1=(S5-S6)-(t5-t6)           A2=(S5+S6)-(t5+t6)

              B1=(S5-S7)-(t5-t7)           B2=(S5+S7)-(t5+t7)

              C1=(S5-S6)-(u5-u6)           C2=(S5+S6)-(u5+u6)

              D1=(S5-S7)-(u5-u7)           D2=(S5+S7)-(u5+u7)

              E1=(S5-S6)+(t5-t6)           E2=(S5+S6)+(t5+t6)

              F1=(S5-S7)+(t5-t7)           F2=(S5+S7)+(t5+t7)

              G1=(S5-S6)+(u5-u6)           G2=(S5+S6)+(u5+u6)

              H1=(S5-S7)+(u5-u7)           H2=(S5+S7)+(u5+u7)

将上面所得代入(9)(10)可得:   

2(S6-S7)+2(t5-u5)-(t6+t7+u6+u7)=0……(18)

2(S6-S7)+2(t5-u5)+(t6+t7+u6+u7)=0……(19)

(18)(19)可得:

(S6-S7)+(t5-u5)=0……(20)     (20)可得       S6= S8+t8        t5=-S8+u8

                                             S7=-S8+t8        u5= S8+u8

(t6+t7)+(u6+u7)=0……(21)     (21)可得       t6= S9-t9        u6=-S9-u9

                                             t7= S9+t9        u7=-S9+u9

再将上面的结果代入所求(即A1A2B1等等)中,且在最后所得中令

S5+S9=a          t9=c          t8+u8=e         

S5-S9=b          u9=d          t8-u8=f          2S8=g

这样我们通过以上的恒等变换可解得:

A1=a-c-e            C1=b-d-e-g          E1=b+c-f-g          G1=a+d-f

A2=b+c+f+g          C2=a+d+f            E2=a-c+e            G2=b-d+e+g

B1=a+c-e+g          D1=b+d-e            F1=b-c-f            H1=a-d-f+g

B2=b-c+f            D2=a-d+f-g          F2=a+c+e-g          H2=b+d+e

由此我们得到了幻和为4x的四阶幻方的一般通式(见图二):

图二

在这个四阶幻方通式中,通过以下的变化仍是幻方:

1.  二三行互换,二三列再互换后仍是幻方

2.     四个“田”字格中的对顶格两对数互换仍是幻方

二.在图二这个一般通式中,通过计算我们可以知道,若满足a=b  e=f  g=0,则此四阶幻方就会变成完美四阶幻方(即泛对角线四数之和亦等于幻和),见图三。

图三

 

在图三中,我们用a代替a-e,用b代替a+ecd不变,这样可以得到简化的完美幻方模式,见图四。

 图四

三.我们见过几种证明四阶幻方不存在平方幻方的可能,那么现在我们可以用四阶幻方的一般通式得到另外一种证明的方式。在这里我们就不再怎么写出证明的过程了。

 

附:历史上出现的一些幻方的一般通式

1.  三阶幻方通式

 这是19世纪法国大数学家鲁卡斯(Edouard Lucas)给出的。

2.  四阶完美幻方的一般通式

此幻方的幻和为x+y+z+u作者不详。这个完美幻方的通式不及图四中的幻方简洁、对称。